环球热点评！什么是无理数及其定义是什么

什么是无理数及其定义是什么

无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面小编就带大家一起来详细了解下吧。

(资料图)

无理数基本定义

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。

有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。

实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数)

也可分为正有理数，0，负有理数。

除了无限不循环小数以外的数统称有理数。

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，

比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：

√2=p/q

再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。

把 √2=p/q 两边平方

得 2=(p^2)/(q^2)

即 2(q^2)=p^2

由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m

由 2(q^2)=4(m^2)

得 q^2=2m^2

同理q必然也为偶数，设q=2n

既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

1.判断a√b是否无理数(a，b是整数)

若a√b是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：

a√b=c/d(c/d是最简分数)

两边a次方得b=c^a/d^a 即c^a=b*(d^a)c^a一定是b的整数倍，设c^a=b^n*p 同理b*(d^a) 必然也为b的整数倍，设b*(d^a)=b*(b^m*q). 其中p和q都不是b的整数倍

左边b的因子数是a的倍数，要想等式成立，右边b的因子数必是a的倍数，推出当且仅当b是完全a次方数，a√b才是有理数，否则为无理数。

无理数发现的故事

对毕达歌拉斯而言，当时的数学知识只能认识到整数，虽然分数 总可以用正数表达。数学之美在于有理数能解释一切自然现象。这种起指导作用的哲学观使毕氏对无理数的存在视而不见，甚至导致他一个学生被处死。

无理数的发现

毕达哥拉斯的学生希伯斯，他试图找出根号2的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数，也就是说根号2是无理数，希帕索斯对这发现，喜出望外，但是他的老师毕氏却不悦。

希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。希伯斯发现，如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。

因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。希帕索斯经洞察力获致的成果一定经过了一段时间的论和深思熟虑，毕氏本应接受这新数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。

沉重的打击

可以想象，毕达哥拉斯学派受到了多么沉重的打击。小小的竟然动摇了他们惨淡经营的宇宙理论。怎么办?毕达哥拉斯的可悲，在于他不敢视这个新的数学问题，而是企图借助宗教信条来维护他的权威。他搬出学派的誓言，扬言要严惩敢于“泄密”的人。然而，真理从来就不是权劫的奴仆，真理的声音是谁也封锁不了的。渐渐地，有一种新的数存在的消息传扬了开去。

这一发现实际上是推翻了教派原来的论断，触犯了这个学派的信条。他们不许希帕索斯泄露存在根2(即无理数)的秘密，但是天真的希帕索斯在无意中向别人谈到了他的发现。后来毕达哥拉斯教派为了维护教派的信条，以破坏教规为理由将希帕索斯装进大口袋扔进了大海。希帕索斯因为发现了根号2“无理数”的存在，为揭示了一个科学的真理而付出了生命的代价。

同时该教派犯下了将发现无理数存在的教派成员、毕达哥拉斯的学生希帕索斯迫害致死的罪行。这是数学史上一个最著名的悲剧。他那传奇般的一生给后代留下了许多的故事与传说。

然而像根号2这样的“无理数”存在的.事实，却不可能一扔了之，由此引发了数学史上第一次危机，也带来了数学思想一次大的飞跃。认识无理数的存在告诉我们，矛盾的存在说明人的认识还具有某种局限性，需要有新的思想和理论来解释。我们只有突破固有思维模式的束缚，才能开辟新的领域和方向，科学才能够继续发展。

科学无止境，认识无禁区，那些事先为科学设定条条框框的，最后将变成阻碍科学进步的阻力，必然被时代的所抛弃。

进步的代价

希伯斯由于违背了学派的誓言，遭受到残酷的迫害。不久，他就失踪了。毕达哥拉斯派的人说，那是海神普赛登惩罚了“叛逆”的希伯斯，海神刮起大风暴冲散了希伯斯的船队，然后就卷起海浪吞没了他........但是，谁会相信这些骗人的鬼话呢?

这类无理数的发现，是数学史上一个重要的发现。希伯斯为此献出了生命，但我们欣忍地看到，数学却因此又前进了一步。

有理数和无理数的区别

实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点：

（1）有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数)。把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0；4/5=0.8等等；也可分为正有理数(正整数、正分数)，0，负有理数(负整数、负分数),而无理数只能写成无限不循环小数.

（2）所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．因此，无理数也叫做非比数。

无理数的性质

1.无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数。

2.无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数。

3.无理数加（减）有理数一定是无理数。

4.无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数。